Progressão aritmética (PA) é um tema bastante recorrente nas provas do Enem, assim como em vestibulares e provas de concursos públicos. Uma progressão aritmética nada mais é do que uma sequência numérica em que os termos possuem uma relação entre si. Essa relação é chamada de razão (r) e é a diferença entre qualquer termo da sequência numérica e o termo imediatamente anterior. Seja a seguinte progressão aritmética: A = (a1, a2, …, an-1, an), a razão é dada por:
r = an – an-1
Dada uma PA qualquer, sendo conhecidos os valores de seu primeiro termo (a1) e de sua razão (r), podemos identificar qualquer outro termo (an) da progressão aritmética, através da fórmula:
an = a1 + (n - 1).r
Podemos também identificar o valor da soma (sn) de todos os termos da progressão aritmética desde que sejam conhecidos o seu primeiro termo (a1) e o último termo (an), através da fórmula:
Sn = (a1 + an). n
2
Vamos analisar duas questões de provas anteriores do Enem para ver como costumam aparecer as questões que envolvem progressão aritmética no Enem:
Questão sobre progressão aritmética no Enem de 2012
Jogar baralho é uma atividade que estimula o raciocínio. Um jogo tradicional é a Paciência, que utiliza 52 cartas. Inicialmente são formadas sete colunas com as cartas. A primeira coluna tem uma carta, a segunda tem duas cartas, a terceira tem três cartas, a quarta tem quatro cartas, e assim sucessivamente até a sétima coluna, a qual tem sete cartas, e o que sobra forma o monte, que são as cartas não utilizadas nas colunas. A quantidade de cartas que forma o monte é
a) 21.
b) 24.
c) 26.
d) 28.
e) 31.
Resolução:
Para resolver essa questão, vamos identificar a progressão arimética que nos é dada no problema. Podemos considerar que cada coluna corresponde a um termo da sequência numérica, portanto, o primeiro termo é 1 (a1 = 1), o segundo é 2 (a2 = 2), o terceiro termo é 3 (a3 = 3) e assim sucessivamente até o sétimo e último termo da sequência numérica (a7 = 7). Sabemos que a progressão possui sete elementos (n = 7) e temos conhecidos o primeiro e o último termo, logo, podemos usar a fórmula da soma dos elementos de uma PA:
Sn = (a1 + an). n
2
S7 = (a1 + a7). 7
2
S7 = (1 + 7). 7
2
S7 = (1 + 7). 7
2
S7 = 8 . 7
2
S7 = 56
2
S7 = 28
Então há 28 cartas distribuídas nas fileiras. Como no baralho há 52 cartas, fazendo 52 – 28 = 24, descobrimos que há 24 cartas no monte. A alternativa correta é a letra b.
Questão sobre progressão aritmética no Enem de 2011
O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33.000 passagens; em fevereiro, 34.500; em março, 36.000. Esse padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes. Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado?
a) 38.000
b) 40.500
c) 41.000
d) 42.000
e) 48.000
Resolução:
Se considerarmos as quantidades de passagens vendidas como elementos de uma sequência numérica, podemos escrevê-los como:
janeiro: a1 = 33.000
fevereiro: a2 = 34.500
março: a3 = 36.000
Se fizermos a diferença entre os termos subsequentes, teremos a3 – a2 = 1.500, e a2 – a1 = 1500. Podemos então afirmar que essa é uma progressão arimética de razão 1500. Como consideramos que cada mês corresponde a um elemento da progressão aritmética e partindo da ideia de que janeiro corresponde ao primeiro elemento, podemos dizer que julho seria representado pelo termo a7. Sendo assim, podemos identificar o sétimo elemento da sequência numérica através da fórmula:
an = a1 + (n - 1) . r
a7 = 33.000 + (7 - 1) . 1.500
a7 = 33.000 + 6 . 1.500
a7 = 33.000 + 9.000
a7 = 42.000
Portanto, foram vendidas 42.000 passagens em julho. A alternativa correta é a letra d.
Para treinar mais, resolva outros exercícios sobre progressão aritmética e tire todas as suas dúvidas!
Bons estudos!
